GEO-308 · Teselaciones

1 · ¿Qué es teselar?

Cubrir el plano como un mosaico perfecto

Teselación

Es una repetición de figuras que cubre una región del plano sin dejar huecos y sin superponer piezas.

La pregunta clave

Cuando varias piezas se encuentran en un mismo vértice, sus ángulos deben llenar exactamente una vuelta:

suma = 360°

2 · Laboratorio de mosaicos

Tres teselaciones regulares

3 · ¿Por qué solo tres regulares?

El ángulo interior debe encajar un número entero de veces en 360°

Triángulo equilátero

60°

360°÷60° = 6. Seis triángulos se reúnen en un vértice.

Cuadrado

90°

360°÷90° = 4. Cuatro cuadrados se reúnen en un vértice.

Hexágono regular

120°

360°÷120° = 3. Tres hexágonos se reúnen en un vértice.

Un pentágono regular tiene ángulo interior de 108°. Como 360°÷108° = 3,333..., no puede reunirse un número entero de pentágonos regulares idénticos alrededor de cada vértice sin dejar huecos o superponerse.

4 · El vértice decide

Encajar 360°: la prueba visual

En una teselación, las piezas que llegan a un punto deben completar exactamente una vuelta. Si la suma es menor que 360°, queda un hueco; si es mayor, las piezas tendrían que superponerse.

Triángulos

Cuadrados

Hexágonos

Pentágonos regulares

Importante: que los ángulos sumen 360° alrededor de un vértice es una condición necesaria. Para una teselación completa también debemos comprobar que las piezas puedan repetirse por todo el plano sin huecos ni superposiciones.

5 · Probador de polígonos regulares

Comprueba si uno solo puede teselar

Número de lados n

6 · Teselaciones con más de un polígono

También podemos combinar figuras

Ejemplo: 3–6–3–6

Alrededor del vértice aparecen triángulo, hexágono, triángulo, hexágono:

60°+120°+60°+120°=360°

Idea importante

Que la suma dé 360° alrededor de un vértice es la condición angular esencial. Además, el patrón debe poder repetirse de forma coherente por todo el plano.

7 · Diseña un vértice

Suma los ángulos que quieres reunir

Escribe hasta cuatro ángulos interiores y comprueba si llenan exactamente una vuelta.

8 · Práctica

Decide si encaja

9 · Reto

¿Pueden teselar juntos cuadrados y triángulos equiláteros?

Busca una combinación alrededor de un vértice que use al menos un cuadrado y al menos un triángulo equilátero y sume 360°.

Ver una solución

Una posibilidad es 90°+90°+60°+60°+60° = 360°: dos cuadrados y tres triángulos alrededor del vértice. Luego habría que comprobar que el patrón pueda repetirse coherentemente.

10 · Evaluación

Comprueba lo aprendido

Necesitas al menos 4 de 5.